Александр Александров родился 20 февраля 1943 года в городе Москва. После школы до 1963 года учился в Серпуховском военном авиационном техническом училище. В 1969 году окончил вечерний факультет Московского Государственного Технического Университета имени Баумана. В этот период работал в конструкторском бюро. В 1978 году вступил в отряд космонавтов.
В период с 27 июня по 23 ноября 1983 года Александр Павлович совместно с Владимиром Ляховым совершил первый полет в космос в качестве бортинженера на космическом корабле «Союз Т-9» и орбитальном комплексе «Салют-7». В ходе полета выполнена обширная программа научно-технических и медико-биологических исследований, принято последовательно два грузовых транспортных корабля, осуществлено два выхода в открытый космос для установки дополнительных панелей солнечных батарей. Впервые выполнены монтаж, работы по наращиванию конструкционных элементов орбитального комплекса.
За осуществление полета и проявленные при этом мужество и героизм Указом Президиума Верховного Совета СССР от 23 ноября 1983 года Александру Павловичу Александрову присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда».
Второй космический полет Александров совершил с 22 июля по 29 декабря 1987 года на космическом корабле «Союз ТМ3» совместно с Александром Викторенко и космонавтом исследователем Сирийской Арабской Республики Мухаммедом Ахмедом Фарисом. В данной экспедиции впервые произведена частичная смена экипажа основной экспедиции: бортинженер Александр Лавейкин возвратился на Землю с экспедицией посещения на КК «Союз ТМ2», Александр Александров продолжил полет совместно с Юрием Романенко. После недельной совместной работы 29 декабря 1987 года Александров вместе с Романенко и Левченко возвратился на Землю на космическом корабле «Союз ТМ-3».
В ходе полета выполнена программа научно технических и медикобиологических исследований, в том числе с использованием научного оборудования астрофизического модуля «Квант». Осуществлено два выхода из станции «Мир» для установки и развертывания двух ярусов дополнительных солнечных батарей.
Общая продолжительность полетов Александрова составляет 309 суток 18 часов 2 минуты. Во время экспедиций два раза выходил в открытый космос продолжительностью 5 часов 45 минут.
За успешное выполнение полета Александр Павлович Александров Указом Президиума Верховного Совета СССР от 29 декабря 1987 года награжден второй медалью «Золотая Звезда» с вручением ордена Ленина.
Александров являлся секретарем секции Федерации космонавтики СССР, членом совета общества «Родина». Почетный гражданин ряда городов.