7 декабря 1926 года в Москве в семье потомственных дворян. В 1943 году его, 16-летнего подростка, арестовали «за участие в антисоветской организации». Суд признал Вельяминова виновным, и он был отправлен в ГУЛАГ, где находился до 1952 года. В 1983 году Вельяминов был реабилитирован.
После освобождения из лагерей в 1952 году Вельяминов три года проработал в Абакане на лесосплаве, и только счастливый случай помог ему войти в труппу драматического театра Абакана.
Играть он начал в лагерной самодеятельности, где пел, читал стихи, а также исполнил свою первую роль — Максима Кошкина в «Любови Яровой».
Вельяминов работал в Тюменском областном драматическом театре, в театрах Дзержинска, Новочеркасска, Чебоксар, Иваново. Не раз Вельяминов менял города и, как следствие, театры. «Я бесконечно дорожу этим опытом», — говорил актер, вспоминая о работе в провинции. Однако «моим домом всегда была Москва», добавлял он. В 1972 году Вельяминов начал работать Московском театре «Современник».
В «Современнике» Вельяминов сыграл в первом режиссерском спектакле Галины Волчек «Восхождение на Фудзияму» и многих других постановках. Через два года перешел работать в Театр-студию киноактера.
В кино актер снялся впервые в 1971 году. Дебютной картиной для него стал фильм «Тени исчезают в полдень», где Вельяминов сыграл роль Захара Большакова.
Кроме того, он прославился благодаря ролям в таких фильмах, как «Командир счастливой щуки», «Вечный зов», «Пираты ХХ века» и других.
Вельяминову были присвоены звания Заслуженного и Народного артиста РСФСР. Он был лауреатом государственной премии СССР, был удостоен Ордена «За заслуги перед Отечеством» III степени.
«Я счастливый человек» — именно так говорил актер в своих интервью. Он был счастлив тем, что тяжёлая судьба не сломила его. Точнее, не тяжелая, а трагическая, наполненная испытаниями. Да, даже это не может сломить по-настоящему сильную личность. Последние годы жизни артист проживал в Санкт-Петербурге. К сожалению, в 2006 году у него стали появляться признаки серьёзной болезни — болезни Паркинсона. Умер он в 2009 году от осложнений, вызванных пневмонией, и похоронен в городе Санкт-Петербурге.
