Цезарь Куников родился 23 июня 1909 года в городе Ростов-на-Дону. С 1918 года, вместе с семьей проживал в городе Ессентуки. Затем еще дважды менял место жительства, пока в 1925 году не оказался в городе Москва. Трудовую деятельность начал на комбинате «Югосталь».
В дальнейшем Куников работал слесарем на московской фабрике «Союз» и токарем на тормозном заводе. В 1928 году поступил в Высшее военно-морское училище имени Фрунзе в Санкт-Петербурге, но через 5 месяцев тяжело заболел и был отчислен. Поправившись, остался на флоте. Срочную службу проходил в качестве механика. В 1930 году вернулся в Москву.
С 1932 года возглавлял сектор оборонной промышленности Московского комитета комсомола.
В 1935 году окончил Московскую промышленную академию и Московский машиностроительный институт, после чего работал мастером, начальником пролета и начальником цеха.
С марта 1938 года, замещал должность главного технолога на заводе шлифовальных станков. С октября того же года, возглавлял техническое управление Народного комиссариата машиностроения и Народного комиссариата тяжелого машиностроения. В мае 1939 года, Цезарь Львович назначен директором ЦНИИ технологии машиностроения. Так же, являлся ответственным редактором газеты «Машиностроение».
В начале Великой Отечественной Войны, 25 июля 1941 года Куников добровольцем вступил в ряды Военно-Морского Флота. С сентября 1941 года занимал должность командира отряда катеров водных заграждений 18 армии Южного фронта. В октябре того же года назначен командиром дивизиона сторожевых катеров Азовской военной флотилии. Участвовал в героической обороне городов Керчи, Темрюка и Новороссийска. Воевал под Ростовом.
С июля 1942 года, Куников служил командиром 305 отдельного батальона морской пехоты Черноморского флота. В августе, занял должность командира вновь сформированного отряда специального назначения Новороссийской военно-морской базы Черноморского флота.
В ночь с 3 на 4 февраля 1943 года, десантный отряд моряков под командованием майора Куникова в ходе Южно-Озерейской десантной операции высадился на занятом врагом и сильно укрепленном побережье в районе города Новороссийска, у села Мысхако — «Малая земля». Стремительным ударом десантный отряд выбил фашистов из опорного пункта и прочно закрепился на захваченном плацдарме. На рассвете разгорелся ожесточенный бой. Десантники в течение дня отразили 18 атак противника. К концу дня боеприпасы были на исходе. Положение казалось безвыходным. Тогда отряд майора Куникова совершил внезапный налет на артиллерийскую батарею противника. Уничтожив орудийный расчет и захватив орудия, десантники открыли огонь по атакующим вражеским солдатам.
За первый день боев, отряд уничтожил 10 огневых точек и блиндажей, свыше 1000 солдат и офицеров противника, захватил 9 орудий, 8 пулеметов и большое количество другого вооружения. Все захваченное вооружение и боеприпасы были направлены против врага. На протяжении семи дней отряд отбивал яростные атаки фашистов и удержал плацдарм до подхода основных сил.
В период с 4 по 10 февраля, морские пехотинцы под командованием майора Куникова уничтожили свыше 2000 гитлеровцев, 28 пулеметных точек, 12 дзотов, 1 танк, 8 автомобилей и повредили 2 танка врага. У Южной Озерейки — места высадки основных сил, в результате упорного сопротивления врага плацдарм захватить не удалось. Поэтому отряд Куникова, высаженный как вспомогательный, приобрел в ходе боев значение основного. Десант занял Станичку, Мысхако и вел борьбу за город Новороссийск.
При встрече прибывающих на плацдарм подразделений, 12 февраля 1943 года Куников получил множественные ранения от разорвавшейся шальной мины. Командира в срочном порядке доставили в госпиталь города Геленджик.
Куников Цезарь Львович скончался 14 февраля 1943 года в результате полученных ранений и был похоронен в братской могиле города-героя Новороссийск.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 17 апреля 1943 года, «за образцовое выполнение боевых заданий командования и проявленные при этом отвагу и геройство» майору Куникову Цезарю Львовичу посмертно присвоено звание Героя Советского Союза.
После войны, останки прославленного командира с воинскими почестями были перезахоронены на площади Героев в городе Новороссийск.
