Юрий Соломин родился 18 июня 1935 года в городе Чита. Мальчик вырос в творческой семье музыкальных педагогов Мефодия Викторовича и Зинаиды Ананьевны. Также, в семье воспитывался младший брат Виталий. Стремление к актерскому искусству у парня появилось еще в школьные годы, когда принимал участие в спектаклях городского Дворца пионеров. Увидев фильм «Малый театр и его мастера», созданный к 125-летию театра, молодой человек узнал о Щепкинском театральном училище и сразу после окончания школы отправил туда документы на поступление. В 1953 году стал студентом данного вуза, в мастерской Веры Николаевны Пашенной.
Окончив театральное училище в 1957 году Юрий Соломин вошел в труппу Малого театра, в котором проработал несколько десятилетий и считает своим вторым домом. Впервые, появился на сцене театра, будучи студентом второго курса, начав с ролей эпизодических. Очень скоро молодой актер стал играть ведущие роли в пьесах: «Когда горит сердце», «Неравный бой», «Перед ужином», «Палата», «Украли консула». Незаурядный талант, врожденное обаяние, мягкий лиризм при мужественности облика, прекрасные внешние данные, обеспечили Соломину яркое будущее.
Вскоре, Соломин играл роли классического русского репертуара, в которых проявились склонность актера к драматизму, умение психологически тонко разработать характер. Это работы в спектаклях: «Ревизор» Николая Гоголя, «Любовь Яровая» Константина Тренева, «Царь Федор Иоаннович» Алексея Толстого, «Сирано де Бержерак» Эдмона Ростана, «Дядя Ваня» и «Чайка» Антона Павловича Чехова, «Живой труп» Льва Толстого, «Горе от ума» Александра Грибоедова, «Мольер» Михаила Булгакова, «Пучина» Александра Островского.
Путевку в кинематограф Юрию Мефодьевичу дала Вера Николаевна Пашенная. Именно она рекомендовала его режиссеру Иннокентию Анненскому на главную роль в киноленту «Бессонная ночь», которая стала дебютом актера в кино. Также Пашенная рекомендовала и Сергею Бондарчуку посмотреть Соломина на роль князя Болконского в экранизации романа Толстого «Война и мир». Однако Бондарчук выбрал Вячеслава Тихонова. Всесоюзную популярность Соломину принесла роль в многосерийном фильме «Адъютант его превосходительства», а роль в картине Акиры Куросавы «Дерсу Узала» сделала актера известным мировому кинематографу.
В последующие годы Соломин снялся в более чем шестидесяти фильмах и сериалах: разноплановых, драматических, лирических, острохарактерных, комедийных, каждую роль делая событием, и в каждую свою роль вживался полностью, проникался судьбами своих героев. Среди его лучших киноработ, роли в кинолентах: «Сердце матери», «Сильные духом», «Мелодии белой ночи», «Хождение по мукам», «Блокада», «Обыкновенное чудо», «Летучая мышь», «Свет в окне», «ТАСС уполномочен заявить», «Сувенир для прокурора», «Привал странников», «Сны о России», «Чайка», «Горе от ума», «Московская сага», «Исаев», «Точка кипения».
Многие его роли в кино популярны и любимы несколькими поколениями зрителей в нашей стране и за рубежом. Сам же актер своими любимыми работами считает роль Геттеля и роль Штубе.
В 1988 году коллективом Государственного академического Малого театра Юрий Соломин избран художественным руководителем. За прошедшие годы ему удалось практически заново создать репертуар театра, сохранить традиции и уникальную труппу театра, сберечь единственный в своем роде театральный симфонический оркестр.
Оставаясь ведущим актером, и руководителем театра, Соломин выступает и как режиссер. Мастер поставил в Малом театре такие спектакли, как «Ревизор» Николая Гоголя, «Чайка» Антона Павловича Чехова, «Лес» Александра Островского, «Коварство и любовь» Фридриха Шиллера, водевиль «Таинственный ящик», а также несколько спектаклей в Щепкинском училище. Известен Соломин и как кинорежиссер. Им сняты телефильмы: «Скандальное происшествие в Брикмилле», «Берег его жизни», «В начале было слово». В качестве режиссера и актера работал в Болгарии, Чехословакии, Германии, Японии. Удостоен премии за студенческие работы в Братиславе и Кобе.
Не менее успешно Юрий Мефодьевич занимается и преподавательской деятельностью, являясь профессором в своем родном театральном училище имени Щепкина. Соломин постоянно ведет мастер-классы со студентами Америки, Японии, Южной Кореи.
В качестве политического деятеля Юрий Соломин известен как министр культуры в составе первого Правительства России. На этой должности ему удалось решить ряд важных вопросов, связанных с организацией жизни театральных коллективов, развитием детского творчества.
Юрий Мефодьевич 11 марта 2014 года подписал обращение к российской общественности деятелей культуры России в поддержку позиции Президента по Украине и Крыму. В ходе президентских выборов 2018 года являлся членом инициативной группы по выдвижению Путина
В апреле 2019 года Министерство культуры подписал с Соломиным бессрочный контракт на продолжение работы в должности художественного руководителя Малого театра.
